Exercice. Analyse dimensionnelle : un chapeau de champignon
La partie supérieure du « champignon » qui se forme lors de lexplosion dune bombe
thermonucléaire correspond à une onde de choc de symétrie approximativement sphérique. Le
rayon r de cette partie du champignon dépend de lénergie E de la bombe, de la masse
volumique ρ de lair et du temps t écoulé depuis lexplosion à linstant initial.
1) Donner les dimensions des grandeurs E et ρ.
2) Trouver à laide de lanalyse dimensionnelle lexpression de la loi dévolution du rayon
r à une constante multiplicatrice sans dimension près
Problème. Expérience de Millikan
I - Principe d'une microbalance sensible à la charge élémentaire.
On pulvérise de petites billes (sphérules ou fines gouttelettes) entre les plaques
horizontales dun condensateur plan distantes de l = 3 mm, et on observe leur mouvement
dans un microscope. Eclairées latéralement, elles apparaîtront comme des points brillants sur
fond noir. On peut appliquer une différence de potentiel (d.d.p.) variable U aux bornes du
condensateur. Si le condensateur est court-circuité, le champ électrique dintensité (de
module) E entre les plaques peut être annulé.
1) Les billes sont en général chargées : en effet, lélectrisation statique des corps par
frottement ordinaire est pratiquement inévitable. Sachant que les densités superficielles de
charge σ qui en résultent sont couramment de lordre de ± 10-10 à ± 10-11 C.cm-2, quel doit
être lordre de grandeur de la masse m et du diamètre d des billes, si on veut que celles-ci
portent une ou quelques charges élémentaires seulement ?
Pour fixer les idées, prendre σ = ± 10-11 C.cm-2 et calculer le diamètre et la masse dune
sphérule de densité 1 qui porterait une seule charge élémentaire ± e. On gardera ces valeurs
de d et m pour les applications numériques des questions 2) et 3).
2) A champ électrique nul, la chute dans lair dun telle bille na rien dune chute libre.
Laction de lair sur la bille comprend, en plus de la poussée dArchimède1 négligeable donc
négligée, une force de frottement visqueux f = −k opposée à la vitesse, qui finit par
équilibrer le poids P =mg de la bille. Celle-ci prend rapidement une vitesse limite
v0 =mg/k qui reste une constante. Daprès une loi bien établie (loi de Stokes), le coefficient de
frottement k est proportionnel au diamètre de la bille : k =β d, où β est un coefficient
caractéristique du fluide ; pour lair ordinaire, β = (1,7 10-4 N.m-2.Drunk 2.
Ecrire léquation du mouvement pour la variable v, la vitesse algébrique de la bille, la
résoudre et estimer avec les données ci-dessus la valeur de v0, ainsi que la durée t dumouvement transitoire accéléré. On définira t comme la durée au bout de laquelle la vitesse
de la bille atteint 95 % de sa valeur limite. Prendre g = 9,8 m.s-2.
La partie supérieure du « champignon » qui se forme lors de lexplosion dune bombe
thermonucléaire correspond à une onde de choc de symétrie approximativement sphérique. Le
rayon r de cette partie du champignon dépend de lénergie E de la bombe, de la masse
volumique ρ de lair et du temps t écoulé depuis lexplosion à linstant initial.
1) Donner les dimensions des grandeurs E et ρ.
2) Trouver à laide de lanalyse dimensionnelle lexpression de la loi dévolution du rayon
r à une constante multiplicatrice sans dimension près
Problème. Expérience de Millikan
I - Principe d'une microbalance sensible à la charge élémentaire.
On pulvérise de petites billes (sphérules ou fines gouttelettes) entre les plaques
horizontales dun condensateur plan distantes de l = 3 mm, et on observe leur mouvement
dans un microscope. Eclairées latéralement, elles apparaîtront comme des points brillants sur
fond noir. On peut appliquer une différence de potentiel (d.d.p.) variable U aux bornes du
condensateur. Si le condensateur est court-circuité, le champ électrique dintensité (de
module) E entre les plaques peut être annulé.
1) Les billes sont en général chargées : en effet, lélectrisation statique des corps par
frottement ordinaire est pratiquement inévitable. Sachant que les densités superficielles de
charge σ qui en résultent sont couramment de lordre de ± 10-10 à ± 10-11 C.cm-2, quel doit
être lordre de grandeur de la masse m et du diamètre d des billes, si on veut que celles-ci
portent une ou quelques charges élémentaires seulement ?
Pour fixer les idées, prendre σ = ± 10-11 C.cm-2 et calculer le diamètre et la masse dune
sphérule de densité 1 qui porterait une seule charge élémentaire ± e. On gardera ces valeurs
de d et m pour les applications numériques des questions 2) et 3).
2) A champ électrique nul, la chute dans lair dun telle bille na rien dune chute libre.
Laction de lair sur la bille comprend, en plus de la poussée dArchimède1 négligeable donc
négligée, une force de frottement visqueux f = −k opposée à la vitesse, qui finit par
équilibrer le poids P =mg de la bille. Celle-ci prend rapidement une vitesse limite
v0 =mg/k qui reste une constante. Daprès une loi bien établie (loi de Stokes), le coefficient de
frottement k est proportionnel au diamètre de la bille : k =β d, où β est un coefficient
caractéristique du fluide ; pour lair ordinaire, β = (1,7 10-4 N.m-2.Drunk 2.
Ecrire léquation du mouvement pour la variable v, la vitesse algébrique de la bille, la
résoudre et estimer avec les données ci-dessus la valeur de v0, ainsi que la durée t dumouvement transitoire accéléré. On définira t comme la durée au bout de laquelle la vitesse
de la bille atteint 95 % de sa valeur limite. Prendre g = 9,8 m.s-2.