Infini non‑indéfini

Hibou57

Comme-même (tm)
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0 * ∞ n’est pas défini, ça d’accord, comme on ne sait rien de ce qu’est ce ∞, si ce n’est qu’il n’est pas un nombre (sinon le résultat serait 0).

Mais (c / 0) * 0, c’est c, non ? Parce que là, cet infini n’est pas indéfini.

Ou cette supposition peut être source d’incohérence ? Si oui, quel serait un exemple d’incohérence ?
 

Hibou57

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Je n’arrive pas en imaginer, des incohérences. En essayant d’en trouver, j’ai juste remarqué qu’il faut alors aussi accepter que a/c * b/c est toujours égale à ab/c, même quand c peut être zéro, sinon il peut y avoir une bizarrerie du genre 0 * a/0 * b/0 ne se simplifie pas autant que 0 * 0 * a/0 * b/a, ce qui donnerait l’impression que 0 n’est pas égale à 0 * 0.
 

Hibou57

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Il ne faut pas craindre de clarifier des choses soi‑même, sinon on ne va nul‑part.

Tantôt je vois dire que 0 exposant 0 = 1 (peut être vu comme incohérent avec l’opération réciproque) tantôt que 0 exposant 0 est indéfini (plus prudent même si peut‑être pas toujours correcte). Parfois je vois dire que infini + n = infini, alors que pour moi, ça n’a pas de sens d’ajouter un nombre à un infini arbitraire (on ne connait pas son type, qui se déduit de la raison de l’opération qui l’a produit), que je considère donc infini + n = indéfini.
 
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Hibou57

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C’est trop simplifié, au point que c’en est trop trompeur.

Ce qu’elle appel une contradiction n’en est pas une. Quand on a quelque chose comme d’un côté x = a et de l’autre, x = b, ça ne signifie pas une contradiction (à comprendre comme une incohérence dans l’article), ça signifie seulement qu’il y a deux solutions (et peut‑être plus encore). En lisant, elle parle même implicitement d’une infinité de solutions, sans s’en apercevoir, et ce n’est pas une incohérence non‑plus. Une incohérence, c’est quelque chose comme arriver à 1 = 2. Là oui, il faut s’inquiéter et c’est justement la question que je posais, s’il peut en exister une sous la supposition que je posais.

En fait, il y a division et division, son sens n’est pas toujours le même. Il y a aussi le domaine (dans le sens du domaine des fonctions) dans lequel on se place.

Un exemple de ce que je veux dire par il y a division et division. On peut comprendre a = c / b de deux manières. La première est de savoir combien de fois on peut compter de c dans b et la seconde, c’est la voir comme la résolution de a * b = c étant donné b. Dans le premier cas, la réponse est qu’il n’y en a pas, si on attend un résultat, parce qu’il ne sera jamais produit. Ce n’est pourtant pas tout dire, parce qu’on peut remarquer que si aucun résultat ne sera jamais produit, c’est parce qu’on a une séquence infinie d’étapes, qui n’est pas rien du tout, cette fois. Dans le second cas, il y a une infinité de solutions, c’est à dire que a peut être n’importe quelle valeur (ce dont justement elle parle, sans s’apercevoir de ce que ça signifie). Selon le sens donné à la division ici, le type du résultat n’est pas le même : une impossibilité d’obtenir un nombre final ou une séquence infinie ou un ensemble infini.

Il y aussi le domaine. Je disais plus haut que 0^0 = 1 peut être vu comme incohérent par rapport à l’opération réciproque. En général, (a^n)^(1/n) = a. Si on considère que 0^0 = 1, alors il faut dans ce cas là, considérer que 1^(1/0) = 0, alors que le résultat est soit 1 soit indéfini, selon les points de vu. Mais si on se place dans le domaine des expressions rationnelles, alors cette incohérence n’existe pas, parce que la fonction réciproque de l’exposant n’y existe pas (les exposants y sont toujours entiers). Dans ce domaine, en général, (a^n)*(a^-n) = 1 et là, 0^0 = 1 n’est plus incohérent, mais pas tout à fait satisfaisant pour autant. Pas incohérent, parce que (0^0)/(0^0) = 1 n’est pas une surprise si on considère que 0^0 = 1, mais pas satisfaisant, parce que ça pourrait aussi être n’importe quelle autre valeur, comme n’importe quel nombre (autre que 0, au moins) divisé par lui‑même, donne 1.

Je n’ai fais que donner une idée de pourquoi ça n’est pas si simple qu’elle le dit, sinon je n’aurais pas ouvert ce sujet.
 
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Hibou57

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J’arrête avec ce sujet ici, mais je voulais juste compléter ce que je disais sur 0^0. En fait, si, il y a une raison de considérer que 0^0 a une valeur unique et que cette valeur est 1.

Toujours en se limitant aux seul domaine des expressions rationnelles, pour justifier de ne pas tenir compte d’autres questions, a^m * a^n = a^(m + n). Pour qu’une valeur de 0^0 soit cohérente avec cette relation, il faut que par exemple 0^0 * 0^2 = 0^2. Comme 0^2 = 1, alors 0^0 ne peut se réduire que à 1 et à rien d’autre. Ce n’est pas en contradiction 0^0 / 0^0 qui, seul, peut faire penser que 0^0 a toutes les valeurs possibles, excepté 0, c’est juste que l’autre relation impose de limiter cet ensemble à une seule valeur, ce qui est conforme à un processus de résolution.

J’arrêtes avec ça ici, mais si par malheur je trouve un exemple d’incohérence sous la supposition que (c / 0) * 0 = c, je le dirai quand‑même ici (si je l’ai sous les yeux, alors je ne la vois pas, j’espère plutôt qu’elle n’existe pas, mais si elle existe, je voudrais le savoir).
 

Hibou57

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[…] Comme 0^2 = 1, alors 0^0 ne peut se réduire que à 1 et à rien d’autre. Ce n’est pas en contradiction 0^0 / 0^0 qui, seul, peut faire penser que 0^0 a toutes les valeurs possibles, excepté 0, c’est juste que l’autre relation impose de limiter cet ensemble à une seule valeur, ce qui est conforme à un processus de résolution.

[…]
Oh la bourde que j’ai écris :claque:, et trop tard pour rééditer, désolé :desole:. J’ai écris 0^2 en pensant à 0^0 …

Je reprends juste avant cette erreur : il faut que 0^0 * 0^2 = 0^2 = 0 et finalement, avec cette relation aussi, 0^0 peut avoir n’importe quelle valeur, un ensemble infini de solutions, comme ce qui se déduisait de 0^0 / 0^0 = 1, excepté que cette relation là, exclut le zéro de cet ensemble (on ne peut pas décemment ajouter « indéfini » à un ensemble de solutions définies)

Je penses à autre chose qui justifie quand‑même que 0^0 = 1, mais j’en reste là ici, je ne revenais sur ce message que pour corriger la grosse bourde que j’y avait écrite.
 
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Hibou57

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Il y a bien une véritable incohérence impliquant la division par zéro, mais elle n’est pas dans cette division, elle est dans sa simplification.

En général, on peut simplifier a/b en a'/b' ou a' = a/n et b' = b/n, si n est un diviseur de a et de b. Mais cette simplification, appliquée à une division par zéro, s’avère incohérente. En effet, on aurait par exemple 0 * 2/0 = 0 * (2/2)/(0/2) = 0 * 1/0 = 1. Mais comme on aurait aussi 0 * 2/0 = 2, on aurait 1 = 2.

À la faveur du discours le plus courant sur la division par zéro, on peut penser que le problème ici vient de la division par zéro. Mais non, parce que, à moins que qelqu’un(e) n’en trouve une, je ne trouve toujours pas d’incohérence pouvant se déduire de (c/0) * 0 = c. L’incohérence est ici plus évidemment dans la simplification d’une division par zéro, qui doit donc être exclue. La raison est intuitivement celle‑ci : quand on simplifie 2/0 en 1/0, on modifie le numérateur, mais pas le dénominateur, ce qui fait douter qu’on préserve l’égalité. Ce qui est incohérent, n’est pas d’écrire 2/0 mais de simplifier 2/0 en 1/0 ce qui revient à dire que 2 = 1. D’où l’idée que considérer qu’il n’est valide de simplifier une division que si son dénominateur est différent de zéro.
 
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