En mathématiques, une division par zéro est dite non déterminée, c’est-à-dire qu’elle est impossible à poser. Mais pourquoi en est-il ainsi ? Petite démonstration par l’absurde.
www.futura-sciences.com
C’est trop simplifié, au point que c’en est trop trompeur.
Ce qu’elle appel une contradiction n’en est pas une. Quand on a quelque chose comme d’un côté x = a et de l’autre, x = b, ça ne signifie pas une contradiction (à comprendre comme une incohérence dans l’article), ça signifie seulement qu’il y a deux solutions (et peut‑être plus encore). En lisant, elle parle même implicitement d’une infinité de solutions, sans s’en apercevoir, et ce n’est pas une incohérence non‑plus. Une incohérence, c’est quelque chose comme arriver à 1 = 2. Là oui, il faut s’inquiéter et c’est justement la question que je posais, s’il peut en exister une sous la supposition que je posais.
En fait, il y a division et division, son sens n’est pas toujours le même. Il y a aussi le domaine (dans le sens du domaine des fonctions) dans lequel on se place.
Un exemple de ce que je veux dire par il y a division et division. On peut comprendre a = c / b de deux manières. La première est de savoir combien de fois on peut compter de c dans b et la seconde, c’est la voir comme la résolution de a * b = c étant donné b. Dans le premier cas, la réponse est qu’il n’y en a pas, si on attend un résultat, parce qu’il ne sera jamais produit. Ce n’est pourtant pas tout dire, parce qu’on peut remarquer que si aucun résultat ne sera jamais produit, c’est parce qu’on a une séquence infinie d’étapes, qui n’est pas rien du tout, cette fois. Dans le second cas, il y a une infinité de solutions, c’est à dire que a peut être n’importe quelle valeur (ce dont justement elle parle, sans s’apercevoir de ce que ça signifie). Selon le sens donné à la division ici, le type du résultat n’est pas le même : une impossibilité d’obtenir un nombre final ou une séquence infinie ou un ensemble infini.
Il y aussi le domaine. Je disais plus haut que 0^0 = 1 peut être vu comme incohérent par rapport à l’opération réciproque. En général, (a^n)^(1/n) = a. Si on considère que 0^0 = 1, alors il faut dans ce cas là, considérer que 1^(1/0) = 0, alors que le résultat est soit 1 soit indéfini, selon les points de vu. Mais si on se place dans le domaine des expressions rationnelles, alors cette incohérence n’existe pas, parce que la fonction réciproque de l’exposant n’y existe pas (les exposants y sont toujours entiers). Dans ce domaine, en général, (a^n)*(a^-n) = 1 et là, 0^0 = 1 n’est plus incohérent, mais pas tout à fait satisfaisant pour autant. Pas incohérent, parce que (0^0)/(0^0) = 1 n’est pas une surprise si on considère que 0^0 = 1, mais pas satisfaisant, parce que ça pourrait aussi être n’importe quelle autre valeur, comme n’importe quel nombre (autre que 0, au moins) divisé par lui‑même, donne 1.
Je n’ai fais que donner une idée de pourquoi ça n’est pas si simple qu’elle le dit, sinon je n’aurais pas ouvert ce sujet.