Merci
mais on voit qu'il y a certaine petite suite qui se répète "aléatoirement", mais tout façon, il serait impossible de voir un cycle parfait, finalement c'est surtout une expérience de pensée
Réflexion sur des lancés de dés
- Initiateur de la discussion Cammix
- Date de début
mais on voit qu'il y a certaine petite suite qui se répète "aléatoirement", mais tout façon, il serait impossible de voir un cycle parfait, finalement c'est surtout une expérience de penséeSalam
Je me suis fais peut etre une reflexion idiote, s'il y a un instant t, une infinité de dés lancés, et que nous notions "théoriquement" dans un certain ordres (qu'on garde)toutes les faces qui sont tombés. Et que nous répétions ces lancés une infinité de fois, en notant toujours le resultats en respectant toujours l'ordre des dés. Est ce que les résultats une fois obtenus (les séries infini qui tombent à chaque lancés)finiraient par revenir à un moment, et se répéteront toujours?
Je sais pas si j'étais clairej'ai quelques soucis d'expression parfois.
Pas du tout idiote ta question.
J'allais pencher pour le oui, mais après réflexion plus poussée j'ai changé d'avis.
D'un côté, tu peux représenter le résultat d'un lancer infini de dé comme un nombre réel enre 0 et 1.
1 4 3 2 6 6 8 4 devient 0.14326684
et inversement tu peux représenter n'importe quel nombre réel enre 0 et 1 comme un lancer de dé infini (en base 6 avec un ou deux réglages). Mais pour simplifier supposons que le dé possède 10 faces (de 0 à 9), ce qui ne change rien au fond du problème.
Il existe donc une bijection entre l'ensemble des lancers de dés infinis et l'ensemble des nombres réels entre 0 et 1.
L'ensemble des résultats possibles de lancers infinis de dés est donc non dénombrable.
D'un autre côté, à l'issue de l'expérience, l'ensemble des séquences produites est dénombrable. Dans le sens où tu peux classer tes lancers infinis en les numérotant 1, 2 jusqu'à l'infini. Il y a donc ici bijection entre le résultat d'une expérience et l'ensemble N des entiers naturels. Cet ensemble est dénombrable.
L'infinité d'un ensemble non dénombrable est plus grande que l'infinité d'un ensemble dénombrable.
Il est donc possible de conclure qu'à l'issue de l'expérience, il restera encore une infinité de séquences qui n'ont pas été tirées.
Attention, il y a peut-être un couac. Les raisonnements avec des ensembles infinis sont souvent contre intuitifs, et il est vite arrivé de se tromper.
Dernière édition:
En l'occurence, on serait plutôt dans les rationnels que dans les réels (même si les rationnels sont une partie des réels).
Apres réflexion, tu dois avoir raison. Ensemble des réels. Non dénombrable.
Oui c'est ça ! Dans un même lancer infini, la série n'a pas de fin.
Pour s'apercevoir qu'il y a forcément une série infinie qui n'apparaîtra jamais dans l'expérience répétition infinie de lancers infinis, considérons un exemple de résultat, avec des séries numérotées 1, 2, 3 et ainsi de suite :
1 -> 562415235624126523652...
2 -> 23411514512431354212423...
3 -> 544534354534153415234...
4 -> 432135131351215354351...
...
...
L'idée est de construire une série qui est différente de toutes les autres énumérées. La construction se fait comme suit :
Pour le premier chiffre, considérer le premier chiffre du lancer n 1 (en gras), ici 5, et choisir un chiffre différent, 6 par exemple.
Pour le deuxième chiffre, considérer le deuxième chiffre du lancer 2 (en gras), cad 3, et choisir un chiffre différent, 4 par exemple.
Pour le troisième chiffre, considérer le troisième chiffre du lancer 3 (en gras), cad 4, et choisir un chiffre différent, 5 par exemple.
Ainsi les premiers numéros de la série ainsi construite sera :
645...
Et ainsi de suite.
Pour le millionième chiffre, considérer le millionième chiffre du lancer 1.000.000, et choisir un chiffre différent.
La propriété de cette séquence est qu'elle est différente de toutes celles apparues dans l'expérience, puisqu'elle diffère toujours du nème lancer sur le nème chiffre. Et pourtant elle est elle même une série possible de lancers de dés infinis.
En rajoutant cette nouvelle série à celles énumérées dans l'expérience ( Mais peut-on rajouter un à l'infini ? Oui comme l'illustre l'hôtel de Hilbert. Il suffit de décaler pour tout n le lancer n vers la case n+1 et d'assigner le nouvel élément à la case 1), on peut répéter le processus et obtenir une nouvelle série qui n'apparaît pas dans l'ensemble des séries énumérés. Et ainsi de suite, on peut construire une infinité de nouvelles séries.
Cet argument s'appelle l'argument diagonal de Cantor. Facile de deviner l'origine du nom en regardant la trajectoire que forment les chiffres en gras plus haut. C'est ce même argument qui a été utilisé pour prouver la non dénombrabilité des nombres réels, c'est à dire qu'il n'existe pas de procédure d'ordonnancement des réels de telle sorte qu'on puisse tous les énumérer.
Aussi bizarre que cela puisse paraître, tous les infinis ne se valent pas. Il y en a qui sont plus grands que d'autres.
1 -> 562415235624126523652...
2 -> 23411514512431354212423...
3 -> 544534354534153415234...
4 -> 432135131351215354351...
...
...
L'idée est de construire une série qui est différente de toutes les autres énumérées. La construction se fait comme suit :
Pour le premier chiffre, considérer le premier chiffre du lancer n 1 (en gras), ici 5, et choisir un chiffre différent, 6 par exemple.
Pour le deuxième chiffre, considérer le deuxième chiffre du lancer 2 (en gras), cad 3, et choisir un chiffre différent, 4 par exemple.
Pour le troisième chiffre, considérer le troisième chiffre du lancer 3 (en gras), cad 4, et choisir un chiffre différent, 5 par exemple.
Ainsi les premiers numéros de la série ainsi construite sera :
645...
Et ainsi de suite.
Pour le millionième chiffre, considérer le millionième chiffre du lancer 1.000.000, et choisir un chiffre différent.
La propriété de cette séquence est qu'elle est différente de toutes celles apparues dans l'expérience, puisqu'elle diffère toujours du nème lancer sur le nème chiffre. Et pourtant elle est elle même une série possible de lancers de dés infinis.
En rajoutant cette nouvelle série à celles énumérées dans l'expérience ( Mais peut-on rajouter un à l'infini ? Oui comme l'illustre l'hôtel de Hilbert. Il suffit de décaler pour tout n le lancer n vers la case n+1 et d'assigner le nouvel élément à la case 1), on peut répéter le processus et obtenir une nouvelle série qui n'apparaît pas dans l'ensemble des séries énumérés. Et ainsi de suite, on peut construire une infinité de nouvelles séries.
Cet argument s'appelle l'argument diagonal de Cantor. Facile de deviner l'origine du nom en regardant la trajectoire que forment les chiffres en gras plus haut. C'est ce même argument qui a été utilisé pour prouver la non dénombrabilité des nombres réels, c'est à dire qu'il n'existe pas de procédure d'ordonnancement des réels de telle sorte qu'on puisse tous les énumérer.
Aussi bizarre que cela puisse paraître, tous les infinis ne se valent pas. Il y en a qui sont plus grands que d'autres.
Tout d'abord il y a une indétermination de l'énoncé quant au sens donné au terme infini soit au sens infini dénombrable (bijection avec l'ensemble des entiers naturel) soit infini au sens d'un ensemble ayant la puissance du continu (bijection avec l'ensemble des réels).
Un tel énoncé pourrait satisfaire le théorème d'incomplétude de Gödel :
à priori intuitivement il n'y a aucune raison pour que la suite ordonnée ne se renouvelle pas, cependant elle peut se renouveler à l'infini, voir une infinité de fois ou encore pas du tout.
Une proposition à mon avis formellement indécidable.
Un tel énoncé pourrait satisfaire le théorème d'incomplétude de Gödel :
à priori intuitivement il n'y a aucune raison pour que la suite ordonnée ne se renouvelle pas, cependant elle peut se renouveler à l'infini, voir une infinité de fois ou encore pas du tout.
Une proposition à mon avis formellement indécidable.
Remarque la fonction Random, n'est pas vraiment aléatoire, c'est un sous-programme, qui prend en compte l'horloge interne pour générer par calculs des nombres prétendus aléatoires. J'en ai fait l'expérience à plusieurs reprises en écrivant des programmes en Fortran.
Je suis parti du principe que le sens infini était celui de dénombrable parce que le terme employé par @Cammix "répéter"/"que nous notons à chaque fois" suggère une certaine temporalité, et qu'on ne peut parler de répétition sur un ensemble non dénombrable.
Oui tu as raison, il n'y a aucune raison pour qu'une série ne réapparaisse pas. Bien qu'on ne puisse définir mathématiquement cette probabilité de répétition, ni même celle de l'apparition d'une série donnée, sauf si l'on considère qu'une probabilité de zéro d'un événement n'est pas incompatible avec le fait qu'il soit quand même possible.
Dernière édition:
Je me suis fait une petite réflexion sur la partie "bijection entre l'ensemble des lancers d'une infinité de dés ordonnés à 10 faces et l'ensemble des réels du segment [0,1]".
Elle n'est en réalité pas bijective, car il y a en principe, pour au moins certains rationnels de ce segment, deux lancers différents qui donneront chacun de ces mêmes rationnels.
Exemple:
Le rationnel 0,8 sera obtenu par:
- le lancer 8, 0, 0, 0, ... (des 0 à l'infini)
- le lancer 7, 9, 9, 9, ... (des 9 à l'infini)
Par contre, ça ne change rien à la réflexion qui est faite par la suite! (C'est juste pour justifier le nom qu'on me donnait en prépa: "monsieur contre exemple"
)Deuxième réflexion (plus générale) que je me suis faite, en tablant sur ton modèle relatif au segment [0,1], par rapport à la préoccupation de @Cammix , et en supposant qu'un lancer particulier d'un nombre infini de dés donnait une suite cyclique de n chiffres, eh bien ce lancer représenterait forcément un rationnel.
En effet, on pourrait l'écrire ainsi:
[(suite n chiffres)÷(10 puissance n)]×(1+a+a²+a³+...)
avec a=1/10
Or, vu que a<1,1+a+a²+a³+...= 1/(1-a) = 10/9
Et on a donc notre nombre qui peut s'écrire:
(suite de n chiffres)÷[9 × (10 puissance n-1)]
Ce serait donc un rationnel.
Ce type de lancers constituerait donc un sous ensemble de l'ensemble des rationnels contenus dans l'ensemble des réels du segment [0,1].
Or, les rationnels sont dénombrables.
Ainsi, dans notre ensemble non dénombrable de possibilités de lancers de dés infinis, il n'y a donc qu'un sous ensemble dénombrable de lancers qui feront apparaître des séquences cycliques de suites de chiffres.
Même en répétant ces lancers une infinités de fois (de manière dénombrable), on reste dans un ensemble dénombrable noyé dans un ensemble de possibilités qui n'est pas dénombrable.
Sincèrement, je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick.
Dernière édition:
Il est certain qu'il n'existe pas de bijection entre un espace dénombrable, un espace négligeable ou encore une partie "dense" d'un espace ayant la puissance du continu et ce même espace.ayant la puissance du continu.Je me suis fait une petite réflexion sur la partie "bijection entre l'ensemble des lancers d'une infinité de dés ordonnés à 10 faces et l'ensemble des réels du segment [0,1]".
Elle n'est en réalité pas bijective, car il y a en principe, pour au moins certains rationnels de ce segment, deux lancers différents qui donneront chacun de ces mêmes rationnels.
Exemple:
Le rationnel 0,8 sera obtenu par:
Ceci sera le cas pour tous les rationnels entre 0 et 1 (exclus) qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule.
- le lancer 8, 0, 0, 0, ... (des 0 à l'infini)
- le lancer 7, 9, 9, 9, ... (des 9 à l'infini)
Par contre, ça ne change rien à la réflexion qui est faite par la suite! (C'est juste pour justifier le nom qu'on me donnait en prépa: "monsieur contre exemple"
Deuxième réflexion (plus générale) que je me suis faite, en tablant sur ton modèle relatif au segment [0,1], par rapport à la préoccupation de @Cammix , et en supposant qu'un lancer particulier d'un nombre infini de dés donnait une suite cyclique de n chiffres, eh bien ce lancer représenterait forcément un rationnel.
En effet, on pourrait l'écrire ainsi:
[(suite n chiffres)÷(10 puissance n)]×(1+a+a²+a³+...)
avec a=1/10
Or, vu que a<1,1+a+a²+a³+...= 1/(1-a) = 10/9
Et on a donc notre nombre qui peut s'écrire:
(suite de n chiffres)÷[9 × (10 puissance n-1)]
Ce serait donc un rationnel.
Ce type de lancers constituerait donc un sous ensemble de l'ensemble des rationnels contenus dans l'ensemble des réels du segment [0,1].
Or, les rationnels sont dénombrables.
Ainsi, dans notre ensemble non dénombrable de possibilités de lancers de dés infinis, il n'y a donc qu'un sous ensemble dénombrable de lancers qui feront apparaître des séquences cycliques de suites de chiffres.
Même en répétant ces lancers une infinités de fois (de manière dénombrable), on reste dans un ensemble dénombrable noyé dans un ensemble de possibilités qui n'est pas dénombrable.
Sincèrement, je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick.
Il ne s'agit pas d'un problème de convergence de suite et de valeur d'adhérence.
Là, je n'ai pas tout saisi.
Entre un ensemble dénombrable et un ensemble qui ne l'est pas, il ne peut clairement pas y avoir de bijection.
Mais je n'ai pas très bien compris le lien avec le message quoté.
Ici le problème concerne deux suites devant être "identiques", terme à terme pour même rang, (on évacue le problème de l'ordre chronologique et/ou la dénombrabilité implicite), prises parmi une infinité de suites construites de manière aléatoire que sont les lancers, il ne s'agit pas d'un problème de convergence de toutes les deux vers la même valeur d'adhérence ou un rationnel.
Pour simplifier on part de l'hypothèse d'ensembles finis, c'est le cas d'ensemble finis probabilisables Ce qui nous ramène en fait au cas, de p-tirages, d'un seul dé à n faces, le tirage correspond au choix d'une face prise parmi les n possibles. Ce qui revient à p-arrangements avec répétition, ou p-tirages d'un élément pris parmi n.
A nouveau on considère q lancers, avec répétition (ce qui n'est pas interdit), dont on choisit deux qui sont identiques et qui répondent à la question.
Cependant lorsqu'on fait tendre p et q vers l'infini dénombrable nous avons une infinité dénombrable de lancers d'une autre infinité dénombrable ou suite infinie de faces. prises parmi les n.
En passant à des ensembles infinis comment définir une probabilité, avec un cardinal infini de l'ensemble des lancers ?
A cela s'ajoute l'aléatoire qui peut conduire à rencontrer une suite infinie, au sein d'une autre suite infinie à partir d'un rang n quelconque, une copie ou pas du tout.
Le passage à l'infini, rend la question indécidable car il faudrait d'abord pouvoir rendre probabilisé l'ensemble infini.
Pour simplifier on part de l'hypothèse d'ensembles finis, c'est le cas d'ensemble finis probabilisables Ce qui nous ramène en fait au cas, de p-tirages, d'un seul dé à n faces, le tirage correspond au choix d'une face prise parmi les n possibles. Ce qui revient à p-arrangements avec répétition, ou p-tirages d'un élément pris parmi n.
A nouveau on considère q lancers, avec répétition (ce qui n'est pas interdit), dont on choisit deux qui sont identiques et qui répondent à la question.
Cependant lorsqu'on fait tendre p et q vers l'infini dénombrable nous avons une infinité dénombrable de lancers d'une autre infinité dénombrable ou suite infinie de faces. prises parmi les n.
En passant à des ensembles infinis comment définir une probabilité, avec un cardinal infini de l'ensemble des lancers ?
A cela s'ajoute l'aléatoire qui peut conduire à rencontrer une suite infinie, au sein d'une autre suite infinie à partir d'un rang n quelconque, une copie ou pas du tout.
Le passage à l'infini, rend la question indécidable car il faudrait d'abord pouvoir rendre probabilisé l'ensemble infini.
Bonjour,Salam
Je me suis fais peut etre une reflexion idiote, s'il y a un instant t, une infinité de dés lancés, et que nous notions "théoriquement" dans un certain ordres (qu'on garde)toutes les faces qui sont tombés. Et que nous répétions ces lancés une infinité de fois, en notant toujours le resultats en respectant toujours l'ordre des dés. Est ce que les résultats une fois obtenus (les séries infini qui tombent à chaque lancés)finiraient par revenir à un moment, et se répéteront toujours?
Je sais pas si j'étais claire
ton dé n'a que 6 faces
le hasard des naissances, chaque homme est différent. le hasard c'est qui en sortira, au hasard des rencontres