Je me suis fait une petite réflexion sur la partie "bijection entre l'ensemble des lancers d'une infinité de dés ordonnés à 10 faces et l'ensemble des réels du segment [0,1]".
Elle n'est en réalité pas bijective, car il y a en principe, pour au moins certains rationnels de ce segment, deux lancers différents qui donneront chacun de ces mêmes rationnels.
Exemple:
Le rationnel 0,8 sera obtenu par:
- le lancer 8, 0, 0, 0, ... (des 0 à l'infini)
- le lancer 7, 9, 9, 9, ... (des 9 à l'infini)
Ceci sera le cas pour tous les rationnels entre 0 et 1 (exclus) qui peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule.
Par contre, ça ne change rien à la réflexion qui est faite par la suite! (C'est juste pour justifier le nom qu'on me donnait en prépa: "monsieur contre exemple"
)
Deuxième réflexion (plus générale) que je me suis faite, en tablant sur ton modèle relatif au segment [0,1], par rapport à la préoccupation de
@Cammix , et en supposant qu'un lancer particulier d'un nombre infini de dés donnait une suite cyclique de n chiffres, eh bien ce lancer représenterait forcément un rationnel.
En effet, on pourrait l'écrire ainsi:
[(suite n chiffres)÷(10 puissance n)]×(1+a+a²+a³+...)
avec a=1/10
Or, vu que a<1,1+a+a²+a³+...= 1/(1-a) = 10/9
Et on a donc notre nombre qui peut s'écrire:
(suite de n chiffres)÷[9 × (10 puissance n-1)]
Ce serait donc un rationnel.
Ce type de lancers constituerait donc un sous ensemble de l'ensemble des rationnels contenus dans l'ensemble des réels du segment [0,1].
Or, les rationnels sont dénombrables.
Ainsi, dans notre ensemble non dénombrable de possibilités de lancers de dés infinis, il n'y a donc qu'un sous ensemble dénombrable de lancers qui feront apparaître des séquences cycliques de suites de chiffres.
Même en répétant ces lancers une infinités de fois (de manière dénombrable), on reste dans un ensemble dénombrable noyé dans un ensemble de possibilités qui n'est pas dénombrable.
Sincèrement, je ne sais pas si ça fait avancer le schmilblick.